Тема 6 многочлены арифметические. Многочлены от одной переменной

Цели: обобщение и закрепление пройденного материала: повторить понятие многочлена, правило умножения многочлена на многочлен и закрепить это правило в ходе выполнения тестовой работы, закрепить навыки решения уравнений и задач с помощью уравнений.

Оборудование: плакат «Кто смолоду делает и думает сам, тот и становится потом надёжнее, крепче, умнее» (В. Шукшин). Кодоскоп, магнитная доска, кроссворд, карточки-тесты.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Устные упражнения (разгадывание кроссворда).
4. Решение упражнений по теме.
5. Тест по теме: « Многочлены и действия над ними» (4 варианта).
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент

Учащиеся класса делятся на группы по 4-5 человек, выбирается старший в группе.

II. Проверка домашнего задания .

Домашнее задание учащиеся готовят на карточке дома. Каждый ученик проверяет свою работу через кодоскоп. Учитель предлагает оценить домашнюю работу самому ученику и поставит оценку в ведомости, сообщая критерий оценки: «5» ─ задание выполнено верно и самостоятельно; «4» ─ задание выполнено верно и полностью, но с помощью родителей или одноклассников; «3» ─ во всех остальных случаях, если задание выполнено. Если задание не выполнено, можно поставить прочерк.

III. Устные упражнения.

1) Для повторения теоретических вопросов учащимся предлагается кроссворд. Кроссворд решают группой устно, и ответы дают учащиеся из разных групп. Выставляем оценки: «5» ─ 7 верных слов, «4» ─ 5,6 верных слов, «3» ─ 4 верных слова.

Вопросы для кроссворда: (см. Приложение 1 )

1. Свойство умножения, используемое при умножении одночлена на многочлен;
2. способ разложения многочлена на множители;
3. равенство, верное при любых значениях переменной;
4. выражение, представляющее собой сумму одночленов;
5. слагаемые, имеющие одну и ту же буквенную часть;
6. значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство;
7. числовой множитель у одночленов.

2) Выполните действия:

3. Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину его увеличить на 7 см, то получится квадрат, площадь которого будет на 100 см 2 больше площади прямоугольника. Определить сторону квадрата. (Cторона квадрата равна 24 см).

Учащиеся решают задания в группах, обсуждая, помогая друг другу. Когда группы выполнили задание, осуществляется проверка по решениям, записанным на доске. После проверки выставляются оценки: за данную работу учащиеся получают две оценки: самооценка и оценка группы. Критерий оценки: «5» ─ всё решил верно, и помогал товарищам, «4» ─ допустил ошибки при решении, но исправил их с помощью товарищей, «3» ─ интересовался решением и всё решил с помощью одноклассников.

V. Тестовая работа.

I вариант

1. Представьте в стандартном виде многочлен 3а – 5а∙а – 5 + 2а 2 – 5а +3.

3. Найдите разность многочленов 2х 2 – х + 2 и ─ 3х 2 ─2х + 1.

5. Представьте в виде многочлена выражение: 2 – (3а – 1)(а + 5).

II вариант

1. Представьте в стандартном виде многочлен 5х 2 – 5 + 4х ─ 3х∙х + 2 – 2х.

3. Найдите разность многочленов 4у 2 – 2у + 3 и - 2у 2 + 3у +2.

5. Решите уравнение: ─3х 2 + 5х = 0.

6. Представьте в виде произведения: 5а 3 – 3а 2 – 10а + 6.

III вариант

1. Найдите значение многочлена ─ 6а 2 – 5аb + b 2 – (─3а 2 – 5аb + b 2) при а = ─ , b=─3.

2. Упростите выражение: ─8х – (5х – (3х – 7)).

4. Выполните умножение: ─3х∙(─ 2х 2 + х – 3)

6. Представьте в виде произведения: 3х 3 – 2х 2 – 6х + 4.

7. Представьте в виде произведения выражение: а(х – у) ─2b(у – х)

IV вариант

1. Найдите значение многочлена ─ 8а 2 – 2ах – х 2 – (─4а 2 – 2ах – х 2) при а= ─, х= ─ 2 .

2. Упростите выражение: ─ 5а – (2а – (3а – 5)).

4. Выполните умножение: ─4а ∙ (─5а 2 + 2а – 1).

6. Представьте в виде многочлена: (3х – 2)(─x 2 + х – 4).

7. Представьте в виде произведения выражение: 2с(b – а) – d(а – b)

VI. Итоги урока

В ходе урока каждый учащийся получает несколько оценок. Учащийся сам оценивает свои знания, сравнивая их со знаниями других. Оценка группы более эффективна, так как эта оценка обсуждается всеми членами группы. Ребята указывают на недостатки и недочёты в работе членов группы. Все оценки заносятся в рабочую карту старшим по группе.

Учитель выставляет итоговую оценку, сообщая её всему классу.

VII. Домашнее задание:

1. Выполните действия:

а) (а 2 + 3аb─b 2)(2а – b);
б) (х 2 + 2ху – 5у 2)(2х 2 – 3у).

2. Решите уравнение:

а) (3х – 1)(2х + 7) ─ (х + 1)(6х – 5) = 16;
б) (х – 4)(2х2 – 3х + 5) + (х2 – 5х + 4)(1 – 2х) = 20.

3. Если одну сторону квадрата уменьшить на 1,2 м, а другую на 1,5 м, то площадь полученного прямоугольника будет на 14,4 м 2 меньше площади данного квадрата. Определить сторону квадрата.

Урок на тему: "Понятие и определение многочлена. Стандартный вид многочлена"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Электронное учебное пособие по учебнику Ю.Н. Макарычева
Электронное учебное пособие по учебнику Ш.А. Алимова

Ребята, вы уже изучали одночлены в теме: Стандартный вид одночлена. Определения. Примеры. Давайте повторим основные определения.

Одночлен – выражение, состоящие из произведения чисел и переменных. Переменные могут быть возведены в натуральную степень. Одночлен не содержит ни каких других действий, кроме умножения.

Стандартный вид одночлена – такой вид, когда на первом месте стоит коэффициент (числовой множитель), а за ним степени различных переменных.

Подобные одночлены – это либо одинаковые одночлены, либо одночлены, которые отличаются друг от друга на коэффициент.

Понятие многочлена

Определение многочлена

Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена . Если слагаемых два, то мы имеем дело с двучленом, еcли три, то с трехчленом. Если слагаемых больше говорят - многочлен.

Примеры многочленов.

1) 2аb + 4сd (двучлен);

2) 4аb + 3сd + 4x (трехчлен);

3) 4а 2 b 4 + 4с 8 d 9 + 2xу 3 ;

3с 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xу - 5xy 2 .

Запишем выражение а + b - с (договоримся, что а ≥ 0, b ≥ 0 и с ≥0 ) и ответим на вопрос: это сумма или разность? Сложно сказать.
Действительно, если переписать выражение, как а + b + (-с) , мы получим сумму двух положительных и одного отрицательного слагаемых.
Если посмотреть на наш пример, то мы имеем дело именно с суммой одночленов с коэффициентами: 3, - 2, 7, -5. В математике есть термин "алгебраическая сумма". Таким образом, в определении многочлена имеется в виду "алгебраическая сумма".

А вот запись вида 3а: b + 7с многочленом не является потому, что 3а: b не является одночленом.
Не является многочленом и запись вида 3b + 2а * (с 2 + d), так как 2а * (с 2 + d) - не одночлен. Если раскрыть скобки, то полученное выражение будет являться многочленом.
3b + 2а * (с 2 + d) = 3b + 2ас 2 + 2аd.

Степенью многочлена является наивысшая степень его членов.
Многочлен а 3 b 2 +а 4 имеет пятую степень, так как степень одночлена а 3 b 2 равна 2 + 3= 5, а степень одночлена а 4 равна 4.

Стандартный вид многочлена

Многочлен приводят к стандартному виду, что бы убрать излишнюю громоздкость написания и упростить дальнейшие действия с ним.

Действительно, зачем к примеру писать длинное выражение 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2а 2 + а 2 + 4 + 4, когда его можно записать короче 9b 2 + 3а 2 + 8 .

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, надо:
1. привести все его члены к стандартному виду,
2. сложить подобные (одинаковые или с разным числовым коэффициентом) члены. Данная процедура часто называется приведением подобных .

Пример.
Привести многочлен аba + 2у 2 х 4 х + у 2 х 3 х 2 + 4 + 10а 2 b + 10 к стандартному виду.

Решение.

а 2 b + 2 х 5 у 2 + х 5 у 2 + 10а 2 b + 14= 11а 2 b + 3 х 5 у 2 + 14.

Определим степени одночленов, входящих в состав выражения, и расставим их в порядке убывания.
11а 2 b имеет третью степень, 3 х 5 у 2 имеет седьмую степень, 14 – нулевую степень.
Значит, на первое место мы поставим 3 х 5 у 2 (7 степень), на второе - 12а 2 b (3 степень) и на третье - 14 (нулевая степень).
В итоге получим многочлен стандартного вида 3х 5 у 2 + 11а 2 b + 14.

Примеры для самостоятельного решения

1) 4b 3 аa - 5х 2 у + 6ас - 2b 3 а 2 - 56 + ас + х 2 у + 50 * (2 а 2 b 3 - 4х 2 у + 7ас - 6);

2) 6а 5 b + 3х 2 у + 45 + х 2 у + аb - 40 * (6а 5 b + 4ху + аb + 5);

3) 4ах 2 + 5bс - 6а - 24bс + хаx 4 x (5ах 6 - 19bс - 6а);

4) 7аbс 2 + 5асbс + 7аb 2 - 6bаb + 2саbс (14аbс 2 + аb 2).

МБОУ «Открытая (сменная) школа №2» города Смоленска

Самостоятельные работы

по теме: «Многочлены»

7 класс

Выполнила

учитель математики

Мищенкова Татьяна Владимировна

Устная самостоятельная работа №1 (подготовительная)

(проводится с целью подготовки учащихся к усвоению новых знаний по теме: «Многочлен и его стандартный вид»)

Вариант 1.

а) 1,4а + 1– а 2 – 1,4 + b 2 ;

б) а 3 – 3а + b + 2 ab – x ;

в) 2а b + x – 3 ba – x .

Ответ обоснуйте.

a ) 2 a – 3 a +7 a ;

б) 3х – 1+2х+7;

в) 2х– 3у+3 x +2 y .

a) 8xx; г ) – 2a 2 ba

б ) 10nmm; д ) 5p 2 * 2p;

в) 3 aab ; e ) – 3 p * 1,5 p 3 .

Вариант 2

1. Назовите подобные слагаемые в следующих выражениях:

а) 8,3х – 7 – х 2 + 4 + у 2 ;

б) b 4 - 6 a +5 b 2 +2 a – 3 b 4 :

в) 3 xy + y – 2 xy – y .

Ответ обоснуйте.

2. Приведите подобные члены в выражениях:

a ) 10 d – 3 d – 19 d ;

б) 5х – 8 +4х + 12;

в) 2х – 4у + 7х + 3у.

3. Приведите одночлены к стандартному виду и укажите степень одночлена:

a) 10aaa;

б ) 7mnn ;

в ) 3 cca;

г) – 5 x 2 yx ;

д) 8 q 2 * 3 q ;

е) – 7 p * 0>5 q 4 .

Условие устной самостоятельной работы предлагается на экране или на доске, но текст до начала самостоятельной работы держится закрытым.

Самостоятельная работа проводится в начале урока. После выполнения работы используется самопроверка с помощью компьютера или классной доски.

Самостоятельная работа № 2

(проводится с целью закрепления умений и навыков учащихся приводить многочлен к стандартному виду и определять степень многочлена)

Вариант 1

1. Приведите многочлен к стандартному виду:

a) x 2 y + yxy;

б ) 3x 2 6y 2 – 5x 2 7y;

в) 11 a 5 – 8 a 5 +3 a 5 + a 5 ;

г) 1,9 x 3 – 2,9 x 3 – x 3 .

a) 3t 2 – 5t 2 – 11t – 3t 2 + 5t +11;

б ) x 2 + 5x – 4 – x 3 – 5x 2 + 4x – 13.

4 x 2 – 1 при x = 2.

4. Дополнительное задание.

Вместо * запишите такой член, чтобы получился многочлен пятой степени.

x 4 + 2 x 3 – x 2 + 1 + *

Вариант 2

a) bab + a 2 b;

б ) 5x 2 8y 2 + 7x 2 3y;

в) 2 m 6 + 5 m 6 – 8 m 6 – 11 m 6 ;

г) – 3,1 y 2 +2,1 y 2 – y 2. .

2. Приведите подобные члены и укажите степень многочлена:

a) 8b 3 – 3b 3 + 17b – 3b 3 – 8b – 5;

б ) 3h 2 +5hc – 7c 2 + 12h 2 – 6hc.

3. Найти значение многочлена:

2 x 3 + 4 при x =1.

4. Дополнительное задание.

Вместо * запишите такой член, чтобы получился многочлен шестой степени.

x 3 – x 2 + x + * .

Вариант 3

1. Приведите многочлены к стандартному виду:

a) 2aa 2 3b + a8b;

б ) 8x3y (–5y) – 7x 2 4y;

в) 20 xy + 5 yx – 17 xy ;

г) 8 ab 2 –3 ab 2 – 7 ab 2. .

2. Приведите подобные члены и укажите степень многочлена:

a) 2x 2 + 7xy + 5x 2 – 11xy + 3y 2 ;

б ) 4b 2 + a 2 + 6ab – 11b 2 –7ab 2 .

3. Найти значение многочлена:

– 4 y 5 – 3 при y = –1.

4. Дополнительное задание.

Составьте многочлен третьей степени, содержащий одну переменную.

Устная самостоятельная работа №3 (подготовительная)

(проводится с целью подготовки учащихся к усвоению новых знаний по теме: «Сложение и вычитание многочленов»)

Вариант 1

a ) сумму двух выражений 3 a + 1 и a – 4;

б) разность двух выражений 5 x – 2 и 2 x + 4.

3. Раскройте скобки:

a ) y – ( y + z );

б) ( x – y ) + ( y + z );

в) ( a – b ) – ( c – a ).

4. Найти значение выражения:

a ) 13,4 + (8 – 13,4);

б) – 1,5 – (4 – 1,5);

в) ( a – b ) – ( c – a ).

Вариант 2

1. Запишите в виде выражения:

a ) сумму двух выражений 5 a – 3 и a + 2;

б) разность двух выражений 8 y – 1 и 7 y + 1.

2. Сформулируйте правило раскрытия скобок, перед которыми стоят знаки «+» или «–».

3. Раскройте скобки :

a) a – (b+c);

б ) (a – b) + (b+a);

в) ( x – y ) – ( y – z ).

4. Найти значение выражения:

a ) 12,8 + (11 – 12,8);

б) – 8,1 – (4 – 8,1);

в) 10,4 + 3 x – ( x +10,4) при x =0,3.

После выполнения работы используется самопроверка с помощью компьютера или классной доски.

Самостоятельная работа №4

(проводится с целью закрепления умений и навыков сложения и вычитания многочленов)

Вариант 1

a ) 5 x – 15у и 8 y – 4 x ;

б) 7 x 2 – 5 x +3 и 7 x 2 – 5 x .

2. Упростите выражение:

a ) (2 a + 5 b ) + (8 a – 11 b ) – (9 b – 5 a );

* б) (8 c 2 + 3 c ) + (– 7 c 2 – 11 c + 3) – (–3 c 2 – 4).

3. Дополнительное задание.

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 3х + 1 была равна

9х – 4.

Вариант 2

1. Составьте сумму и разность многочленов и приведите к стандартному виду:

a) 21y – 7x и 8x – 4y;

б ) 3a 2 + 7a – 5 и 3a 2 + 1.

2. Упростите выражение:

a ) (3 b 2 + 2 b ) + (2 b 2 – 3 b - 4) – (– b 2 +19);

* б) (3 b 2 + 2 b ) + (2 b 2 – 3 b – 4) – (– b 2 + 19).

3. Дополнительное задание.

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 4х – 5 была равна

9х – 12.

Вариант 3

1. Составьте сумму и разность многочленов и приведите к стандартному виду:

a ) 0,5 x + 6у и 3 x – 6 y ;

б) 2 y 2 +8 y – 11 и 3 y 2 – 6 y + 3.

2. Упростите выражение:

a ) (2 x + 3 y – 5 z ) – (6 x –8 y ) + (5 x – 8 y );

* б) (a 2 – 3 ab + 2 b 2 ) – (– 2 a 2 – 2 ab – b 2 ).

3. Дополнительное задание.

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 7х + 3 была равна x 2 + 7 x – 15.

Вариант 4

1. Составьте сумму и разность многочленов и приведите к стандартному виду:

a ) 0,3 x + 2 b и 4 x – 2 b ;

б) 5 y 2 – 3 y и 8 y 2 + 2 y – 11.

2. Упростите выражение:

a) (3x – 5y – 8z) – (2x + 7y) + (5z – 11x);

* б ) (2x 2 –xy + y 2 ) – (x 2 – 2xy – y 2 ).

3. Дополнительное задание.

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 2 x 2 + x + 3 и была равна 2 x + 3.

Самостоятельная работа проводится в конце урока. Работу проверяет учитель, выявляя, надо ли заниматься дополнительно по данной теме.

Самостоятельная работа №5

(проводится с целью формирования умений и навыков заключать многочлен в скобки)

Вариант 1

a , а другой ее не содержит:

a) ax + ay + x + y;

б ) ax 2 + x + a + 1.

Образец решения :

m + am + n – an = (m+n) + (am – an).

b

a) bm – bn – m – n;

б ) bx + by + x –y.

Образец решения :

ab – bc – x – y = (ab – bc) – (x + y).

Вариант 2

1. Представьте многочлен в виде суммы двух многочленов, один из которых содержит букву b , а другой ее не содержит:

a) bx + by +2x + 2y;

б ) bx 2 – x + a – b.

Образец решения:

2 m + bm 3 + 3 – b = (2 m +3) + (bm 3 – b ).

2. Представьте многочлен в виде разности двух многочленов, первый из которых содержит букву a , а другой – нет (проверьте результат, раскрыв мысленно скобки):

a) ac – ab – c + b;

б ) am + an + m – n;

Образец решения :

x + ay – y – ax = (ay – ax) – (–x + y) = (ay – ay) – (y–x).

Вариант 3

1. Представьте многочлен в виде суммы двух многочленов, один из которых содержит букву b , а другой ее не содержит:

a) b 3 – b 2 – b+3y – 1;

б ) – b 2 – a 2 – 2ab + 2.

Образец решения:

– 2 b 2 – m 2 – 3 bm + 7 = (–2 b 2 – 3 bm ) + (– m 2 + 7) = (–2 b 2 – 3 bm ) + (7– m 2 ).

2. Представьте многочлен в виде разности двух многочленов, первый из которых содержит букву b , а другой – нет (проверьте результат, раскрыв мысленно скобки):

a) ab + ac – b – c;

б ) 2b + a 2 – b 2 –1;

Образец решения:

3 b + m – 1 – 2 b 2 = (3 b – 2 b 2 ) – (1– m ).

Вариант 4

(для сильных учащихся, дан без образца решения)

1. Представьте многочлен в виде суммы двух многочленов с положительными коэффициентами:

a) ax + by – c – d;

б ) 3x –3y +z – a.

2. Представьте выражения каким-либо способом в виде разности двучлена и трехчлена:

a) x 4 – 2x 3 – 3x 2 + 5x – 4;

б ) 3a 5 – 4a 3 + 5a 2 –3a +2.

Самостоятельная работа проводится в конце урока. После выполнения работы используется самопроверка по ключу и самооценка работы. Учащиеся, самостоятельно справившиеся с заданием, отдают тетради на проверку учителю.

C амостоятельная работа №6

(проводится с целью закрепления и применения знаний и умений умножения одночлена на многочлен)

Вариант 1

1. Выполните умножение:

a ) 3 b 2 (b –3);

б) 5 x (x 4 + x 2 – 1).

2. Упростите выражения:

a) 4 (x+1) +(x+1);

б ) 3a (a – 2) – 5a(a+3).

3. Решите уравнение :

20 +4(2 x –5) =14 x +12.

4. Дополнительное задание.

(m + n ) * * = mk + nk .

Вариант 2

1. Выполните умножение:

a ) - 4 x 2 (x 2 –5);

б) -5 a (a 2 - 3 a – 4).

2. Упростите выражения:

a ) (a –2) – 2(a –2);

б) 3 x (8 y +1) – 8 x (3 y –5).

3. Решите уравнение:

3(7 x –1) – 2 =15 x –1.

4. Дополнительное задание.

Какой одночлен нужно вписать вместо знака *, чтобы выполнялось равенство:

(b + c – m ) * * = ab + ac – am .

Вариант 3

1. Выполните умножение:

a ) – 7 x 3 (x 5 +3);

б) 2 m 4 (m 5 - m 3 – 1).

2. Упростите выражения:

a) (x–3) – 3(x–3);

б ) 3c (c +d) + 3d(c–d).

3. Решите уравнение:

9 x – 6(x – 1) =5(x +2).

4. Дополнительное задание.

Какой одночлен нужно вписать вместо знака *, чтобы выполнялось равенство:

* * (x 2 – xy ) = x 2 y 2 – xy 3 .

Вариант 4

1. Выполните умножение:

a ) – 5 x 4 (2 x – x 3 );

б) x 2 (x 5 – x 3 + 2 x );

2. Упростите выражения:

a ) 2 x (x +1) – 4 x (2– x );

б) 5 b (3 a – b ) – 3 a (5 b + a ).

3. Решите уравнение:

-8(11 – 2 x ) +40 =3(5 x - 4).

4. Дополнительное задание.

Какой одночлен нужно вписать вместо знака *, чтобы выполнялось равенство:

(x – 1) * * = x 2 y 2 – xy 2 .

C амостоятельная работа №7

(проводится с целью формирования умений и навыков решения уравнений и задач)

Вариант 1

Решите уравнение:

+ = 6

Решение:

(+) * 20 = 6*20,

* 20 – ,

5 x – 4(x – 1) =120,

5 x – 4 x + 4=120,

x =120 – 4,

x =116.

Ответ: 116.

Решите уравнение:

+ = 4

2. Решите задачу:

На путь от поселка до станции автомобиль потратил на 1 час меньше, чем велосипедист. Найдите расстояние от поселка до станции, если автомобиль проехал его со средней скоростью 60 км/ч. А велосипедист 20 км/ч.

Вариант 2

1. Используя образец решения, выполните задание.

Решите уравнение:

– = 1

Решение:

(+) * 8 = 1*8,

* 8 – ,

2 x - (x – 3) =8,

2 x – 4 x + 3=8,

x = 8 – 3,

x =5.

Ответ: 5.

Решите уравнение:

+ = 2

2. Решите задачу:

Мастер изготавливает на 8 деталей в час больше, чем ученик. Ученик работал 6 часов, а мастер 8 часов, и вместе они изготовили 232 детали. Сколько деталей в час изготовил ученик?

Указания к решению:

а) заполните таблицу;

На 8 деталей больше

б) составьте уравнение;

в) решите уравнение;

г) сделайте проверку и запишите ответ.

Вариант 3

(Для сильных учащихся, дан без образца)

1. Решите уравнение:

– = 2

2. Решите задачу:

В столовую привезли картофель, упакованный в пакеты по 3 кг. Если бы он был упакован в пакеты по 5 кг, то понадобилось бы на 8 пакетов меньше. Сколько килограммов картофеля привезли в столовую?

Самостоятельная работа проводится в конце урока. После выполнения работы используется самопроверка по ключу.

В качестве домашнего задания учащимся предлагается творческая самостоятельная работа:

Придумайте задачу, которая решается с помощью уравнения

30 x = 60(x – 4) и решите ее.

Самостоятельная работа №8

(проводится с целью формирования умений и навыков вынесения общего множителя за скобки)

Вариант 1

а) mx + my ; д) x 5 – x 4 ;

б) 5 ab – 5 b ; е) 4 x 3 – 8 x 2 ;

в ) – 4mn + n; * ж ) 2c 3 + 4c 2 + c ;

г ) 7ab – 14a 2 ; * з ) ax 2 + a 2 .

2. Дополнительное задание.

2 – 2 18 делится на 14.

Вариант 2

1. Вынесите общий множитель за скобки (проверьте свои действия умножением):

а ) 10x + 10y; д ) a 4 + a 3 ;

б ) 4x + 20y; е ) 2x 6 – 4x 3 ;

в ) 9 ab + 3b; * ж ) y 5 + 3y 6 + 4y 2 ;

г ) 5xy 2 + 15y; * з ) 5bc 2 + bc.

2. Дополнительное задание.

Докажите, что значение выражения 8 5 – 2 11 делится на 17.

Вариант 3

1. Вынесите общий множитель за скобки (проверьте свои действия умножением):

а ) 18ay + 8ax; д ) m 6 +m 5 ;

б ) 4ab - 16a; е ) 5z 4 – 10z 2 ;

в) – 4 mn + 5 n ; * ж) 3 x 4 – 6 x 3 + 9 x 2 ;

г) 3 x 2 y – 9 x ; * з) xy 2 +4 xy .

2. Дополнительное задание.

Докажите, что значение выражения 79 2 + 79 * 11 делится на 30.

Вариант 4

1. Вынесите общий множитель за скобки (проверьте свои действия умножением):

а) – 7 xy + 7 y ; д) y 7 - y 5 ;

б) 8 mn + 4 n ; е) 16 z 5 – 8 z 3 ;

в) – 20 a 2 + 4 ax ; * ж) 4 x 2 – 6 x 3 + 8 x 4 ;

г) 5 x 2 y 2 + 10 x ; * з) xy +2 xy 2 .

2. Дополнительное задание.

Докажите, что значение выражения 313 * 299 – 313 2 делится на 7.

C амостоятельная работа проводится в начале урока. После выполнения работы используется проверка по ключу.

Заочная школа 7 класс. Задание №2.

Методическое пособие №2.

Темы:

Многочлены. Сумма, разность и произведение многочленов;

Решение уравнений и задач;

Разложение многочленов на множители;

Формулы сокращенного умножения;

Задачи для самостоятельного решения.

Многочлены. Сумма, разность и произведение многочленов.

Определение. Многочленом называется сумма одночленов.

Определение. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена .

Умножение одночлена на многочлен .

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен .

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Примеры решения заданий:

Упростите выражение:

Решение.

Решение :

Так как, по условию коэффициент при должен быть равен нулю, то

Ответ : -1.

Решение уравнений и задач.

Определение . Равенство содержащее переменную, называется уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным .

Определение . Корнем уравнения (решением уравнения) называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Решить уравнение - значит найти множество корней.

Определение. Уравнение вида
, где х переменная, a и b – некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Определение.

Множество корней линейного уравнения может:

Примеры решения заданий :

Является ли данное число 7 корнем уравнения:

Решение :

Таким образом, х=7 - корень уравнения .

Ответ : да.

Решите уравнения:

Решение:
Ответ: -12		Ответ: -0,4

От пристани в город отправилась лодка со скоростью 12км/ч, а через полчаса в этом направлении отправился пароход со скоростью 20 км/ч. Каково расстояние от пристани до города, если пароход пришел в город раньше лодки на 1,5 ч.

Решение:

Обозначим за х – расстояние от пристани до города.

	Скорость (км/ч )	Время (ч )	Путь (км)
Лодка
Пароход

По условию задачи, лодка затратила времени на 2 часа больше, чем пароход (так как пароход вышел от пристани на полчаса позже и прибыл в город на 1,5ч раньше лодки ).

Составим и решим уравнение:

60 км – расстояние от пристани до города.

Ответ: 60 км.

Длину прямоугольника уменьшили на 4 см и получили квадрат, площадь которого меньше площади прямоугольника на 12см². Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Пусть х – сторона прямоугольника.

	Длина	Ширина	Площадь
Прямоугольник			х(х-4)
Квадрат			(х-4)(х-4)

По условию задачи площадь квадрата меньше площади прямоугольника на 12см².

Составим и решим уравнение:

7 см – длина прямоугольника.

(см²) – площадь прямоугольника.

Ответ: 21 см² .

Туристы прошли намеченный маршрут за три дня. В первый день они прошли 35% намеченного маршрута, во второй – на 3 км больше, чем в первый, а в третий – оставшиеся 21 км. Какова длина маршрута?

Решение:

Пусть х длина всего маршрута.

	1 день	2 день	3 день
Длина пути		0,35х+3
Всего длина пути составила х км.

Таким образом, составим и решим уравнение:

0,35х+0,35х+21=х

0,7х+21=х

0,3х=21

70 км длина всего маршрута.

Ответ: 70 км.

Разложение многочленов на множители.

Определение . Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложением на множители.

Вынесение общего множителя за скобки .

Пример :

Способ группировки .

Группировку нужно производить так, чтобы в каждой группе оказался общий множитель, кроме того, после вынесения общего множителя за скобки в каждой группе, полученные выражения также должны иметь общий множитель.

Пример :

Формулы сокращенного умножения.

Произведение разности двух выражения и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения. решения . 1. Найдите остаток при делении многочлена х6 – 4х4 + х3 ... не имеет решений , а решениями второй служат пары (1; 2) и (2; 1). Ответ: (1; 2) , (2; 1). Задачи для самостоятельного решения . Решите систему...

• Примерная учебная программа по алгебре и началам анализа для 10 -11 классов (профильный уровень) Пояснительная записка

  Программа

  В каждом параграфе дается необходимое количество задач для самостоятельного решения в порядке повышения их сложности. ... алгоритм разложения многочлена по степеням двучлена; многочлены с комплексными коэффициентами; многочлены с действительными...

• Элективный курс «Решение нестандартных задач. 9 класс» Выполнил учитель математики

  Элективный курс

  Уравнение равносильно уравнению Р(х) = Q(X), где Р(х) и Q(x)– некоторые многочлены с одной переменной х.Перенося Q(x) в левую часть... = . ОТВЕТ: х1=2, х2=-3, хз=, х4= . ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ . Решить следующие уравнения: х4 – 8х...

• Программа факультатива по математике для 8 класса

  Программа

  Теорему алгебры, теорему Виета для квадратного трёхчлена и для многочлена произвольной степени, теорему о рациональных... материал. Даётся не только список задач для самостоятельного решения , но и задание сделать модель-развёртку...