Что такое движения плоскости: параллельный перенос, поворот. Преобразование подобия

Поворот (вращение) - движение, при котором по крайней мере одна точка
плоскости (пространства) остаётся неподвижной.
В физике нередко поворотом называется неполное вращение, или, наоборот,
вращение рассматривается как частный вид поворота. Последнее определение
более строго, поскольку понятие поворот охватывает значительно более широкую
категорию движений, в том числе и такое, при котором траектория движущегося
тела в избранной системе отсчёта представляет собой незамкнутую кривую.

10.

11.

«Параллельный перенос

и поворот»

9 класс (геометрия)

подготовила и провела:

Мегеря Лариса Ивановна – учитель математики

Силантьевская средняя школа

УРОК, 9 кл. «Движения».

.

Блез ПАСКАЛЬ

Тема урока: «Параллельный перенос и поворот»

Цели урока: учебная – познакомить учащихся с понятием переносной и поворотной симметрии;

развивающая – познакомить учащихся с приёмами дизайнеров при построении тесселляций;

воспитательная – на примере творчества Эшера подвести ребят к мысли о необходимости гармоничного и пропорционального развития в себе как образного, так и логического мышления.

Прививать любовь к геометрии через картины художника Морица Эшера.

Оборудование: мультимедийный проектор, интерактивная доска, ПК, опорные конспекты.

План.

Орг. момент.

Н.т.

п/р

Н.т.

п/р

Физкультминутка

п/р

д/з

итог.

Ход урока:

1. (ПРЕЗЕНТАЦИЯ 1)

СЛАЙД 1.

Однажды великого греческого философа Сократа спросили о том, что, по его мнению, легче всего в жизни. Он ответил, что легче всего поучать других, а труднее – познать самого себя. На уроках и вне школы мы познаем окружающий нас мир. Но сейчас давайте заглянем в себя. Как мы воспринимаем окружающий мир? Как художники или как мыслители?

Тест.

1) Переплетите пальцы рук. Большой палец правой или левой руки оказался у Вас сверху? Запишите результат буквами «Л» или «П».

2) Скрестите руки на груди (поза «Наполеона»). Кисть, какой руки оказалась сверху? Запишите результат.

3) Изобразите «бурные аплодисменты». Ладонь, какой руки у Вас сверху? Запишите.

СЛАЙД 2.

Подведем итоги, учитывая, что результат «ЛЛЛ» соответствует художественному типу личности, а «ППП» - типу мыслителя.

(Эти различия связаны с функциональной асимметрией мозга человека: у «художников» более развитое правое полушарие и преобладает образное мышление, у «мыслителей» – соответственно – левое полушарие и логическое мышление).

Какой же тип мышления преобладает у Вас? Поднимите руки, у кого по результатам теста «ППП»… , «ЛЛЛ».

Несколько «мыслителей», несколько «художников», большинство – личности, которым свойственно и логическое и образное мышление. Вот и познакомились ближе: вы – с собой, я – с вами. А теперь перейдём к познанию темы урока.

2. СЛАЙД 3 .

Итак, тема урока: « Параллельный перенос и поворот ».

СЛАЙД 4.

Мы с вами убедились, что большинству людей свойственно как образное, так и логическое мышление. Одним из ярких примеров является личность известного голландского художника-графика Морица Корнелиуса Эшера. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин. Любопытно, что сам Эшер не мог похвастаться законченным математическим образованием.

Вот что писал об этом сам художник: «Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг…Они, кажется, не подозревают, что математически я абсолютно безграмотен». В этих словах, наверное, есть доля преувеличения, тем более, что в процессе своей работы он черпал идеи из различных математических статьей. Позже он признается: « Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам-художникам». И математики по достоинству оценили его картины, и вот уже с 50-х годов прошлого столетия Эшер выступает с лекциями на Международных конгрессах математиков и кристаллографов.

СЛАЙД 5 .

За всю свою жизнь Эшер создал множество разнообразных по тематике гравюр и литографий. Я отобрала для демонстрации часть эскизов к гравюрам, объединённых общей идеей. Посмотрите внимательно на них и ответьте на вопрос: «Какая идея присутствует в этих эскизах? Как одним словом можно назвать эти рисунки?» (мозаика, повторяющиеся элементы, симметричные).

Симметрия – это не только математическое понятие. Его заимствовали из природы. А так как человек – это часть природы, то человеческое творчество во всех его проявлениях тяготеет к симметрии.

СЛАЙД 6 .

В Кратком Оксфордском словаре «симметрия» определяется как «красота, обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью»

Какие виды симметрии вы знаете? (центральная, осевая).

3. СЛАЙД 7.

Что такое осевая симметрия? (отображение плоскости на себя, при котором любой точке М этой плоскости ставится в соответствие точка М 1 , симметричная ей относительно прямой a. Прямая а является серединным перпендикуляром отрезка ММ 1 )

СЛАЙД 8.

На доске изображены реальные физические объекты, обладающие осевой симметрией. Вы согласны? (№2 – отсутствует осевая симметрия).

СЛАЙД 9.

Что такое центральная симметрия? (отображение плоскости на себя, при котором любой точке М сопоставляется такая точка М 1 , что точка O является серединой отрезка ММ 1 )

СЛАЙД10.

Например, объекты, обладающие центральной симметрией. (№3 – отсутствует центральная симметрия).

СЛАЙД 11.

Вы знаете, что осевая и центральная симметрии являются движениями плоскости, т. е. сохраняют все расстояния между точками, а значит, переводят фигуры в равные. А как в жизни происходит движение объектов? По какой траектории? (по прямой, по окружности).

4. СЛАЙД 12.

Обратите внимание на эскиз к гравюре «Встреча». Как происходит движение человечков? (по прямой).

СЛАЙД 13.

А на рисунке «Путь жизни 2»? (по кругу). Если материальная точка движется по прямой, говорят о параллельном переносе или сдвиге плоскости. Если материальная точка движется по окружности, говорят о повороте плоскости вокруг некоторой точки.

СЛАЙД 14 .

Движение по прямой характеризуется направлением движения и пройденным расстоянием, следовательно, достаточно ввести вектор переноса, который и будет учитывать эти две характеристики.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС - отображение плоскости на себя, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (вектор переноса).

СЛАЙД 15.

1 В 1 С 1 , который получается из треугольника АВС параллельным переносом на вектор .

СЛАЙД 16.

При движении по окружности необходимо знать, где находится центр окружности, направление движения (по часовой стрелке или против) и угол поворота.

ПОВОРОТ – отображение плоскости на себя, при котором все точки смещаются вокруг заданной точки (центр поворота) на заданный угол (угол поворота) в одном направлении (по часовой или против часовой стрелки).

СЛАЙД 17.

Например, построить треугольник А 1 В 1 С 1 , который получается из треугольника АВС поворотом вокруг точки О по часовой стрелке на 90 о .

СЛАЙД 18.

Так как симметрия в широком смысле означает неизменность свойств и формы материального объекта относительно его преобразований, то параллельный перенос и поворот также относят к видам симметрии – переносная и поворотная симметрия.

5. (ИНТЕРАКТИВНАЯ ДОСКА)

А теперь вернёмся к картинам Эшера (по вариантам на печатных листах).

1) Найдите в картинах различные виды симметрий: (показать образец)

Проверить с помощью интерактивной доски.(флипчарт, стр. 11, 12 инструмент шторки на половину страницы, закрыв правильный ответ)

Итак, мы с вами выяснили, что во многих картинах Эшера присутствует симметрия.

6. Физкультминутка

7. (ПРЕЗЕНТАЦИЯ 2)

СЛАЙД 1. Сейчас картины Эшера необычайно популярны и модны. Его творчество оказалось востребовано массовой культурой. Огромное количество графических работ, особенно мозаик, можно встретить на телефонных картах, почтовых марках, упаковках различных товаров, обоях, одежде и так далее.

СЛАЙД 2. В своё время Мик Джаггер, солист популярной рок-группы "Роллинг стоунз" и в то же время горячий почитатель таланта Эшера, попросил его разрешения поместить гравюру «Вербум» на обложку своей пластинки. Но Эшер в самой решительной и даже резкой форме отказал Мику Джаггеру.

(ИНТЕРАКТИВНАЯ ДОСКА)

Мы, чтобы не нарушать ничьих авторских прав, научимся самостоятельно создавать тесселляции - мозаики из абсолютно одинаковых форм, которые прилегают друг к другу без промежутков, не перекрывая одна другую, и вы сможете порадовать окружающих своими дизайнерскими находками.

Алгоритм построения:

Выбор сетки для построения плоского орнамента (квадратная, треугольная, шестиугольная, прямоугольная, из параллелограммов).

Прорисовка мотива на основе одной ячейки сети с использованием симметрических преобразований.

Построение орнамента с полученным мотивом на основе выбранной сетки.

Раскраска орнамента.

(флипчарт, стр. 18, 19 инструмент шторки на половину страницы, закрыв правильный ответ)

8. Д/з,

н.у п 4.4, п 4.5, карточка

с.у стр 79-80, карточка

диффер задания

В заключение я хочу вспомнить результаты теста, проведённого в начале урока. Блез Паскаль говорил: « Величие не в том, чтобы впадать в крайность, но в том, чтобы касаться одновременно двух крайностей и заполнять промежуток между ними ». Художники и мыслители, образное и логическое мышление. Равновесия и гармонии между этими крайностями, можно достичь, лишь равномерно развивая в себе и те и другие качества. И не стоит огорчаться тем, у кого по результатам теста было «ППП» или «ЛЛЛ». Вспомните, Морис Эшер тоже сначала был односторонней личностью. Просто вы сейчас находитесь в начале пути. Удачи вам!

Вращение - частный случай движения, при котором по крайней мере одна точка плоскости (пространства) остаётся неподвижной. При вращении плоскости неподвижная точка называется центром вращения, при вращении пространства неподвижная прямая называется осью вращения. Вращение плоскости (пространства) называется собственным (вращение первого рода) или несобственным (вращение второго рода) в зависимости от того, сохраняет оно или нет ориентацию плоскости (пространства).

На плоскости в прямоугольных декартовых координатах собственное вращение выражается формулами

x" = x cos? - y sin?, y" = x sin? + y cos?,

где?- угол поворота, а центр вращения выбран в начале координат. При тех же условиях несобственное вращение плоскости выражается формулой

x" = xcos? + y sin?, y" = x sin?- y cos?.

Поворотом плоскости вокруг точки S на направленный угол ѓї называется такое отображение плоскости на себя, которое каждую точку М плоскости переводит в такую точку M`, что SM = SM` и направленный угол ЃЪMSM` равен ѓї.

Точка S называется центром поворота, а направленный угол ѓї - углом поворота. Напомним, что угол называется направленным, если указано, какая из его сторон считается первой, а какая - второй.

Для обозначения поворота будем использовать символ.

Прежде всего докажем, что поворот плоскости сохраняет расстояние между точками. Для этого на плоскости возьмем две различные точки M и N. Обозначим через M` и N` их образы при повороте вокруг точки S на направленный угол ѓї. Рассмотрим треугольники SMN и SM`N`. В этих треугольниках стороны SM и SM`, SN и SN`, соответственно, равны.

Нетрудно убедиться и в том, что углы MSN и M`SN` этих треугольников тоже равны. А это значит, что равны и сами треугольники MSN и M`SN`. Из равенства этих треугольников следует равенство отрезков MN и M`N`. Таким образом, поворот плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол является движением.

На плоскости рассмотрим поворот с центром в точке S и углом ѓї. Зададим ПДСК так, чтобы ее началом служила точка S, а координатные векторы i, j были единичны и взаимно перпендикулярны. Произвольно на плоскости возьмем точку М (х, у) с координатами х и у относительно ПДСК Sху. Под действием поворота эта точка перейдет в некоторую точку M`(x`, y`). Выразим координаты точки M` через координаты ее прообраза, угол ѓї и координаты центра поворота. В треугольнике SM`Mx` длина катета SMx` равна |х`|, а длина катета М`Мх` равна |у`|, а в треугольнике SMMx - SMx = |x|, MMx = |y|. Обозначим через ѓА направленный угол, который образует луч SM с положительным направлением оси абсцисс (рис. 2.2). Тогда в ориентированном прямоугольном треугольнике Mx`SM` направленный угол ЃЪ Mx`SM` равен сумме направленных углов ѓї и ѓА, а длина гипотенузы SM` равна. С учетом этих соотношений получаем, что

Эти формулы являются формулами поворота плоскости вокруг начала координат на направленный угол ѓї. Используя эти формулы, можно показать, что поворот плоскости вокруг точки на заданный направленный угол обладает следующими свойствами.

Свойства поворота плоскости вокруг точки

1. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол прямая переходит в прямую, образующую с данной прямой направленный угол, равный углу поворота.

Доказательство. Пусть относительно системы координат Oxy прямая d определяется уравнением ax + by + c = 0, где. Зададим поворот плоскости вокруг точки О на направленный угол ѓї формулами (2.1.). Найдем уравнение образа прямой d при этом повороте. Для этого из формул (2.1.) выразим x и y через xЃЊ и yЃЊ получим формулы вида,

Чтобы получить уравнение образа прямой d в уравнении ax + by + c = 0 заменим х и у выражениями (xЃЊ cosѓї + yЃЊ sinѓї) и (? xЃЊ sinѓї + yЃЊcosѓї) . В результате получим уравнение вида. В левой части этого уравнения раскроем скобки и приведем его к виду

Поскольку

то уравнение (acosѓї ? bsinѓї)xЃЊ + (asinѓї + bcosѓї) yЃЊ + c = 0 определяет на плоскости прямую.

• 2. При повороте вокруг данной точки на заданный направленный угол параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
• 3. Поворот плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол сохраняет простое отношение трех точек.

Доказательство. На плоскости зададим ПДСК Оху. Произвольно возьмем две точки и. Пусть точка M(x, y) делит отрезок М 1 М 2 в отношении ѓЙ Ѓ‚ ?1. Рассмотрим поворот плоскости вокруг точки О на направленный угол ѓї формулами (2.1.). Обозначим через, и MЃЊ (xЃЊ, yЃЊ) образы точек, и M (x, y) при этом повороте. Покажем, что поворот сохраняет простое отношение трех точек, и M (x, y) . Поскольку для координат точек, и M (x, y) справедливы соотношения

то для доказательства того факта, что точка MЃЊ(xЃЊ, yЃЊ) делит отрезок в том же самом отношении ѓЙ Ѓ‚ ?1 достаточно показать, что

Для этого в формулах

заменим на, на, на, на, на, на. В результате получим соотношения

Умножим первое - на cos? , а второе - на? sin? и сложим. В результате получим равенство. Теперь умножим обе части первого соотношения на sin? , а второго - на cos? и сложим. Получим равенство.

Итак, мы показали, что точка M? (x?, y?) делит отрезок в том же самом отношении? ? ?1, что и точка делит отрезок M 1 M 2 . А это значит, что поворот плоскости вокруг точки на заданный угол сохраняет простое отношение трех точек.

• 4. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол отрезок переходит в равный ему отрезок, луч - в луч, полуплоскость - в полуплоскость.
• 5. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол ортонормированный репер R переходит в ортонормированный R`.

При этом точка М с координатами х и у относительно репера R переходит в точку М` с теми же самыми координатами х и у, но относительно репера R`.

6. Композиция двух поворотов вокруг точки О есть поворот с центром в точке О.

7. Композиция двух поворотов плоскости есть поворот на направленный угол с центром в точке С такой, что, .

• 8. Композиция двух осевых симметрий плоскости с непараллельными осями m1 и m2, пересекающимися в точке О и образующими направленный угол, есть поворот плоскости вокруг точки О.
• 9. Всякий поворот плоскости вокруг точки О можно представить в виде композиции двух осевых симметрий, осью одной из них будет служить прямая p, проходящая через центр О, а осью другой - прямая q, содержащая биссектрису угла, образованного образом m` луча m при повороте вокруг точки О на заданный угол и образом m`` луча m` при осевой симметрии с осью р.

При решении задач, связанных с нахождением образов и прообразов геометрических фигур, заданных своими аналитическими условиями относительно прямоугольной декартовой системы координат Oxy, при повороте плоскости вокруг точки на заданный направленный угол, целесообразно использовать формулы, задающие поворот с центром в произвольной точке S(х0, у0), отличной от начала координат. Для того, чтобы вывести эти формулы, воспользуемся тем, что поворот плоскости переводит ортонормированный репер R в ортонормированный репер R`, а всякую точку M с координатами (х, у) относительно репера R в точку M` с теми же самыми координатами, но относительно репера R`.

С другой стороны, точка M` относительно репера R` тоже имеет какие-то координаты. Обозначим их через x` и y`. Таким образом, на плоскости имеем две системы координат: одна из них определяется репером R, а другая - репером R`.

Первую из них назовем "старой", а вторую - "новой". В соответствии с этим "старыми" координатами точки M` будет являться упорядоченная пара чисел (x`, y`), а "новыми" координатами - упорядоченная пара чисел (х, у). Используя формулы, выражающие "старые" координаты точки через ее "новые" при переходе от одной системы координат к другой, получим формулы:

Поскольку точка является инвариантной точкой поворота, то ее координаты удовлетворяют следующим условиям:

Вычитая из обеих частей равенств (2.2.) соответствующие части соответствующих равенств (2.3.), получим формулы, которые выражают координаты образа M` точки M через координаты самой точки M:

Формулы (2.4) являются формулами поворота плоскости вокруг точки на заданный направленный угол.

«Поворот в геометрии» - Изобразите треугольник, полученный из треугольника OAB поворотом вокруг точки O на угол 60о против часовой стрелки. Изобразите треугольник A’B’C’, полученный из треугольника ABС поворотом вокруг точки O на угол 90о против часовой стрелки. Треугольник A’B’C’ получен поворотом треугольника ABC по часовой стрелке вокруг точки O. Найдите угол поворота.

«Виды движения» - Центральная симметрия в системе координат. Отображение плоскости на себя. При движении плоскости точка А переходит в точку М. Построение. Параллельный перенос. Параллельный перенос на плоскости в системе координат. Задача. Построить образ данной трапеции. Построение симметричных точек и отрезков. Преобразование фигуры F.

«Движение и его виды» - Виды Лондона. Точки. Определение. Самостоятельная работа. Функция. Живая симметрия. Ось симметрии. Поворот. Начало движения. Ледяное царство. Лондонские часы «Биг Бен». Фигура. Отображение плоскости на себя. Движение. Московские школьники. Параллельный перенос. Общие сведения. Процесс движения. Треугольник.

«Виды движения тел» - Октаэдр. Правильный тетраэдр. Зеркальная симметрия. Грань. Центр закрашенной грани. Центральная симметрия. Осевая симметрия. Сколько существует различных движений. Вершины. Назовите движение. Движение. В кубе закрасили одну грань.

«Основные виды движений» - Фигуры, содержащие ось симметрии. Фигуры с двумя осями симметрии. Осевая симметрия. Фигуры с центральной симметрией. Параллельный перенос. Зеркальная симметрия. Отображение пространства на себя. Движения в пространстве. Фигуры более чем с двумя осями симметрии. Фигуры, обладающие центральной симметрией.

«Понятие движения в геометрии» - Тема исследования. Симметрия относительно прямой. Движение в курсе алгебры. Симметрия в архитектуре. Выделяют следующие свойства движения. Красота и гармония тесно связаны с симметрией. Поворот и параллельный перенос. Симметрия. Движение в геометрии, алгебре и окружающем нас мире. Большинство растений и животных симметричны.

Всего в теме 19 презентаций